確かに、一度HAMLOGを操作すると自動終了しませんね。
HAMLOGを個別に終了すれば良いだけなので、気にしてませんでした。

> ・自動終了させる、よい方法がありますでしょうか。

お勧めしませんが、バッチファイルで以下を実行する。
taskkill /F /T /IM Hamlogw.exe

> ・よい方法がない場合、次回の自動起動時に「二重起動」のメッセージ（ファイルが開けない）を表示しないよう（スルーするよう）にできますでしょうか。
HAMLOGの　オプション→環境設定→設定２　にある「QSOデータの共有オープン」　をチェックする。