HAMLOG データ入力登録、修正等終了時
「削除されたファイルはどの場所からでも削除されます」
「最近の削除：　BK230508 1450 000059.ZIP」
「了解しました　・　OneDrive ごみ箱を開く」
このようなメッセージ表示されるが、何のエラーメッセージですか？
又、対処方法を教えてください。

おそらくハムログのバックアップ先をOneDrive上のフォルダーにされてるのではないか？と思います。
すると複数のPCで同期されます。
ハムログ終了時にバックアップが作成されますが個数が決まっていてそれ以上作った時は古いものが削除されます。
同期されている他のPCからも削除されますのでそれの警告じゃないかと思います。
警告を出すのはハムログではなくてOneDriveです。

バックアップはなにも指定しなくても特定のフォルダ（マイドキュメントでしたか）に自動で作成されます。
この特定のフォルダの場所がOneDrive上であれば、同様に警告が出るんじゃないかと思います。