> > JT-Get'sをアクティブにした状態でＦ２キーを押すと、最後の交信が入力ウインドウ
> > に転送されますが、それも59のままですか？
> → F2を押したらdB値が転送され、モードもFTになりました。
> しかし一覧上(Messageあたり)をダブルクリックするとコールサインは転送されますが、
> RST/Modeは転送されません。

そういう仕様です。どんな交信をしたか確認するためです。
https://hamlog.sakura.ne.jp/html/HID00106.html

> > WSJT-Xのファイルメニューから 、設定 → レポート →
> > 【QSOをログするよう促すメッセージを出す】にレ点は入っていますよね。
> → 入ってはいませんでした(入れました)。
> これをやると今後はメッセージが出て転送されるようになるのでしょうか?
> (この後、まだQSOが成立していません)

マニュアルにも記載したとおり、ここは重要なポイントです。

・交信結果を入力ウインドウへ転送する
　WSJT-Xで相手に73を送ったとき、WSJTX.logファイルに書き込まれた内容が入力ウインドウに転送されます。
　注：WSJT-Xのファイルメニューから 設定 → レポート → QSOをログするよう促すメッセージを出すにチェックを入れておいてください。
　注：JTDXでは、同じくLog QSOウインドウを表示するにチェックを入れておいてください。